代数系统

一个非空集合A，连同若干个定义在该集合上的运算 $f_1,f_2,...f_n$ ,所组成的系统成为一个代数系统，简称代数，记为 $<A,f_1,f_2,...,f_n>$

- 载体（一个非空集合A）
- 定义在载体上的运算
- 运算满足一定的公理和性质
- 代数常元

设A,B是非空集合，f是 $A^n$ 到B的一个映射。则称f为集合 $A^n$ 到B的一个n元代数运算，简称运算，n称为运算的阶

设f是从 $A^n$ 到B的一个n元运算，若 $B\subset A$ ，则称该n元运算在集合A上是封闭的。特别地，设f是从A到B的映射，则称f是一个在A上封闭的一元运算。设f是从 $A^2$ 到B的映射，则称f是一个在A上的封闭的二元运算。

设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存在元素e，对于A中的每一个元素x，都有 $e* x=x$ 则称e为A中关于运算 $*$ 的左幺元。

设*是定义在集合A上的一个二元运算，若存在元素e，对于A中每一个元素x, 都有 $x* e=x$ 则称e为A中关于运算 $*$ 的右幺元

设是定义在集合A上一个二元运算，若A中有一个幺元e，它既是左幺元，又是右幺元，则称e为A中关于运算的幺元，亦称作单位元。 $e*x=x*e=x$

设是定义在集合A上的一个二元运算，且在A中有关于运算的左幺元 $e_l$ 和右幺元 $e_r$ ,则 $e_l =e_r=e$ ,且A中的幺元是唯一的

设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果有一个元素 $θ_l$ ∈A,对于任意的元素x∈A都有 $θ_l*x= θ_l$ ，则称θl为A中关于运算 $*$ 的左零元。

如果有一个元素 $θ_r$ ∈A,对于任意的元素 x∈A都有 $x*θ_r= θ_r$ ，则称θr为A中关于运算 $*$ 的右零元

如果A中的一个元素θ，它既是左零元，又是右零元，则称θ为A中关于运算 $*$ 的零元。 $θ* x=x*θ=θ$

设 $*$ 是定义在集合A上一个二元运算，且在A中有关于运算*的左零元 $θ_l$ 和右零元 $θ_r$ ,那么 $θ_l= θ_r= θ$ ，且A中的零元是唯一的。

设是一个代数系统，是定义在集合A上的一个二元运算，e是A中关于运算的幺元。x,y∈A，如果 $x*y=e$ ，那么关于运算*，x是 y的左逆元，y是x的右逆元。如果 $x*y=y*x=e$ ,那么关于运算*，x与y互为逆元。运算x的逆元记为 $x^{-1}$ 。

设是一个代数系统， $*$ 是定义在集合A上的一个二元运算，e是A中关于运算*的幺元。若运算 $*$ 是可结合的，元素x有左逆元l和右逆元r，则l=r，且逆元唯一