半群与独异点

半群

定义

一个代数系统<S,*>,其中S是非空集合，$*$是S上一个二元运算，如果满足：
$运算*是可结合的，即 \forall x,y,z \in S$,有

$$(x*y)*z =x*(y*z)$$

则称$<S,*>$为半群
注意：

• $<S,*>$是代数系统，满足封闭性
• 满足结合律

子半群

设 (S, *) 是一个半群，如果 T 是 S 的一个非空子集，并且 T 在运算 * 下封闭（即对于任意 a, b ∈ T，有 a * b ∈ T），则 (T, *) 称为 (S, *) 的一个子半群

交换半群

如果半群 (S, *) 的运算 * 满足交换律，即对于任意 a, b ∈ S，都有 a * b = b * a，则称这个半群为交换半群（或阿贝尔半群）。

幂等元存在性

定理

在有限半群中，每个元素都有幂等幂。也就是说，对于任意元素a∈S，存在正整数 n使得 $a^n$ 是幂等元（即 $(a^n)^2=a^n$）。

证明思路

考虑序列：$a,a^2,a^3,a^4,…$
由于半群有限，根据鸽巢原理，必存在i<j 使得 $a^i=a^j$
令 p=j−i>0，则 $a^i=a^{i+p}$
通过选择合适的 k，可以证明存在 n 使得 $(a^n)^2=a^n$

独异点

独异点是在半群的基础上，增加了一个更严格的要求。

定义

一个 独异点（也称为幺半群）是一个二元组 (M, *)，其中：

1. M 是一个非空集合。

2. * 是 M 上的一个二元运算，且满足封闭性。

3. 运算 * 满足结合律。

4. 存在一个 单位元（或幺元） e ∈ M：对于任意 a ∈ M，都有 e * a = a * e = a。

子独异点

设 (M, *, e) 是一个独异点（其中 e 是单位元），如果 N 是 M 的一个子集，满足：

1. N 在运算 * 下封闭

2. 单位元 e ∈ N

3. (N, *) 本身构成一个独异点

则称 (N, *, e) 是 (M, *, e) 的子独异点。

要点

• 必须包含原独异点的单位元

循环独异点

定义

一个独异点 (M, *, e) 称为循环独异点，如果存在一个元素 a ∈ M（称为生成元），使得 M 中的每一个元素都可以表示为 a 的若干次幂。

形式化地说：存在 a ∈ M，使得 M = {aⁿ | n ∈ ℕ}，其中：

• a⁰ = e（单位元）

• aⁿ⁺¹ = aⁿ * a（n ≥ 0）