群

定义

设$<G,*>$是一个代数系统，其中G是非空集合，$*$是G上的二元运算。如果满足

• $运算*是可结合的$
• 存在幺元e
• 对于每一个元素$x \in G$,都存在逆元$x^{-1} \in G$
  则称$<G,*>$是一个群
  注意：
• 代数系统+结合=半群
• 半群+幺元e=独异点
• 独异点+逆元=群

分类

• 有限群，G为有限集
  • 群的阶数：载体G的基数（G的元素个数）
• 无限群，G为无限集

群的性质

• 群中无零元
• 群中每个元素的逆元唯一
• 设$<G,*>$是一个群，对于$a,b \in G$,必存在唯一的$x\in G$,使得$a*x=b$
• 消去律：设$<G,*>$是一个群，对于$a,b,c \in G$,若有$a*b=a*c或者b*a=c*a$,则必有b=c
• 设$<G,*>$是一个群，除幺元e外。不可能有任何别的等幂元
• 群$<G,*>$的运算表的每一行或每一列都是G中元素的一个置换

群中元素的阶

对于群$<G,*>$，由于$*$运算是可结合的，定义$a^0=e$,当n为大于0的正整数时有

$$a^n=a*a*...*a(n个)$$

对于任何整数i,j有

• $a^i*a^j=a^{i+j}$

• $(a^i)^j=a^{ij}$
  若存在使$a^n=e$成立的最小正整数n，则称n为元素a的阶；否则称a的阶是无限的

• 有限阶元素的幂
  如果 $ord(a)=n<∞$，则：

• $a^m=e 当且仅当 m是n的倍数$

• $n最多是G的基数$

• 性质 3：逆元的阶

$$对于任意 a∈G：ord(a^{−1})=ord(a)$$

特殊的群

• 阿贝尔群（交换群）：对于群$<G,*>$，如果$*$运算是可交换的
• 循环群：：设$<G,*>$是群，若存在一个元素 g∈G,使得G中每一个元素a∈G都能表示成 $g^i$(i∈I, I是整数集合)的形式，则称$<G,*>$为 循环群，g是循环群的一个生成元。
• 任何一个循环群必定是阿贝尔群
• 设$<G,*>$是由g∈G为生成元的有限循环群，|G|=n,则有
  • (a) n是使$g^n=e$的最小正整数；
  • (b) G={$g^1,g^2,…,g^n=e$}
• 循环群的子群必是循环群。
• 设$<G,*>$是由g∈G为生成元的循环群。
  • (a)若G是无限集，则<G,*>与<I,+>同构。
  • (b)若G是有限集且|G|=k,则$<G,*>$与$<N_k, +k>$同构。