子群

子群的定义

设 G 是一个群，H 是 G 的一个非空子集。如果 H 在 G 的运算下也构成一个群，则称 H 为 G 的子群，记作 H≤G

子群的判定法则

判定定理一（最常用）

G 的一个非空子集 H 是 G 的子群，当且仅当同时满足以下两个条件：

  1. 封闭性：对于任意 a, b ∈ H，有 a * b ∈ H。

  2. 逆元存在性：对于任意 a ∈ H，有 a⁻¹ ∈ H。

判定定理二（更简洁）

G 的一个非空子集 H 是 G 的子群，当且仅当对于任意 a, b ∈ H，有 a * b⁻¹ ∈ H。

有限群的判定定理

如果 G 是群，H 是 G 的一个有限非空子集，那么 H 是 G 的子群，当且仅当 H 对 G 的运算封闭（即对于任意 a, b ∈ H，有 a * b ∈ H）

平凡子群

任何群 G 都有两个平凡子群：{e} 和 G 本身。