群同态

定义

设 (G, *) 和 (H, ∘) 是两个群。如果映射 f: G → H 满足：
对任意 a, b ∈ G，都有 f(a * b) = f(a) ∘ f(b)
则称 f 是从 G 到 H 的一个群同态。

同态象

设 $h:(G,∗)→(H,⋅) 是一个群同态映射，即对于任意 a,b∈G，有：

h(a∗b)=h(a)⋅h(b)h(a∗b)=h(a)⋅h(b)

同态象 定义为：

h(G)=(h(g)∣g∈G)h(G)=(h(g)∣g∈G)

群同态的性质

  • 同态象是群
  • 同态象是<H,∘><H,∘>的子群

同态核

设h是从群<G,∗><G,*>到<H,☆><H, ☆>的一个 同态映射，eHe_H是<H,☆><H, ☆>中的幺元

Ker(h)=x∣x∈G∧h(x)=eHKer(h)={x|x∈G ∧h(x)=e_H}

称Ker(h)为群同态映射h的核，简称h的同态核。

关于核的定理

  • <Ker(h),∗><Ker(h),*>是<G,∗><G,*>的子群。