环

环的定义

代数系统 <A, +, ·> 是环，若满足：

1. <A, +> 是阿贝尔群（加法群）

2. <A, ·> 是半群

3. 乘法对加法可分配：

   $$a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c,(b+c)⋅a=b⋅a+c⋅a$$

环的基本性质

设 <A, +, ·> 是环，θ 是加法幺元，则：

1. $a⋅θ=θ⋅a=θ$

2. $a⋅(−b)=(−a)⋅b=−(a⋅b)$

3. $(−a)⋅(−b)=a⋅b$

4. $a⋅(b−c)=a⋅b−a⋅c$

5. $(b−c)⋅a=b⋅a−c⋅a$

特殊环

1. 交换环

• $·$满足交换律

2. 含幺环

• $·$有幺元

3. 含零因子环

• 存在 a,b≠θ 使得 $a⋅b=θ$

4. 整环

• 交换环

• 含乘法幺元

• 无零因子

• 乘法对加法可分配

无零因子的等价定理

定理表述

设 <A, +, ·> 是一个环，θ 是 A 中关于运算 + 的幺元，则以下两个条件等价：

1. <A, +, ·> 中无零因子

2. <A, +, ·> 满足可约律（消去律），即：

   $$∀a,b,c∈A,c≠θ,若 c⋅a=c⋅b 则 a=b$$

   以及

   $$∀a,b,c∈A,c≠θ,若 a⋅c=b⋅c 则 a=b$$